脆性材料粉碎機理的分形研究
?? 絕大多數(shù)材料，在形成、演化過程中由于受各種隨機因素的影響，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)存在著大量不同尺度、不同類型，并且呈無序分布的微缺陷，本文統(tǒng)稱為裂紋。在沖擊加載情況下，這些裂紋的周圍將產(chǎn)生應(yīng)力集中，使其生長、擴展和貫通，無序性也被強烈地放大。對于脆性材料（如各種巖石、煤、石英石等）。實驗表明，裂紋的分布和演化在一定標度范圍內(nèi)具有很好的統(tǒng)計自相似性，而這種自相似行為導(dǎo)致了材料宏觀粉碎后所形成顆粒（或碎塊）的粒度分布呈分形分布。
? ? ? ? 1顆粒粒度呈分形分布的微觀機理
? ? ? ? 裂紋在幾何上的非規(guī)則性是脆性材料的共同特征，但其分布可以看成是在不同層次、不同尺度并且按某種規(guī)則構(gòu)造的裂紋嵌套[1,2]，即第k+1步的小裂紋是第k步大裂紋群基礎(chǔ)上連續(xù)生成的子群，從而構(gòu)成一個統(tǒng)計自相似的分布系統(tǒng)，因而可以用線性分形來模擬這種非規(guī)則性現(xiàn)象。當材料受連續(xù)沖擊載荷時，裂紋在生長區(qū)內(nèi)將進行觸發(fā)一擴展一觸發(fā)鏈式生長模型的演化。從而使嵌套尺寸、層次不斷擴大和增加，而整體裂紋分布的分維D不變。
? ? ? ? 文獻[3]表明，在一定范圍內(nèi)，裂紋分布的統(tǒng)計自相似特征，在尺頻關(guān)系上可用分形的基本關(guān)系—冪律關(guān)系很好地描述。即根據(jù)分形的定義為
? ? ? ? 式中n表示裂紋尺寸大于、等于α的裂紋數(shù)；nσ為試樣中裂紋總數(shù)；α0為裂紋核尺寸或晶粒尺寸；D是裂紋分布的分維。以上是基于在斷裂力學(xué)中常將裂紋簡化為二維平面上一條直線來處理的考慮。當材料負載時，裂紋將擴展、貫通，且伴有新裂紋生成，但由于其演化的統(tǒng)計自相似性，仍有類似式（1）的關(guān)系式。
? ? ? ? 在重復(fù)粉碎（或循環(huán)加載）過程中，假定材料中的低層次大裂紋比高層次小裂紋優(yōu)先貫通斷裂，那么在第k 階段有nk個大于、等于尺寸ymin的貫通裂紋斷裂，則：
? ? ? ? 式中ymin為此階段材料的zui小貫通裂紋尺寸，nσk為此階段試樣中裂紋總數(shù)。
由此而產(chǎn)生的顆粒（或碎塊）總數(shù)Nk為：
? ? ? ? ymin可看作此階段產(chǎn)生的zui小顆粒尺寸xmin，因此：
進一步可推出此階段粉碎之后，顆粒粒度分布為：
? ? ? ? 式中N為顆粒尺寸大于、等于x的顆粒數(shù)，C為比例常數(shù)。
? ? ? ? 此階段小于尺寸x的顆粒數(shù)占總顆粒數(shù)的比率YN（x）為：
? ? ? ? 通常材料粉碎是指對粒度和形狀不同的顆粒體集團的作用，但終究還是以單個顆粒體的破碎為基礎(chǔ)。從上面的推導(dǎo)可以看出，每一階段粉碎之后的顆粒粒度分布均呈分形分布，并且只與顆粒體中的裂紋分布有關(guān)，而與給料的原始粒度分布無關(guān)[4]。對某一粉碎試樣，可能包含著各種不同粒度的原始顆粒體，但這些顆粒體裂紋分布結(jié)構(gòu)均可視為一樣，其分維D相同。故在重復(fù)粉碎過程的不同階段，產(chǎn)品顆粒粒度分布的分維值不變，都應(yīng)等于裂紋分布的分維。
? ? ? ? ? 2顆粒粒度分布分維的推導(dǎo)
? ? ? ? ? 根據(jù)式（5）有：
? ? ? ? 尺度在x～x+dx之間的粒子數(shù)目dN表示為：
? ? ? ? 若忽略各粒級間顆粒密度ρ的差異，尺寸在x～x+dx之間的粒子質(zhì)量dW 可寫成：
? ? ? ? 式中Kv是體積形狀因子。另外dW還可直接寫成
? ? ? ? 這里W為全體顆粒的總質(zhì)量； YW（x） 是小于尺寸x的顆粒總質(zhì)量占全體顆粒總質(zhì)量的比率。
由式（8）和式（9），則：
? ? ? ? ?將式（6）代入式（10），可得：
? ? ? ? 對上式積分得：
? ? ? ? 所以，如果顆粒的粒度分布滿足：
? ? ? ? 即在雙對數(shù)坐標下YW（x）-x存在直線段，就表明顆粒的粒度分布是分形分布，據(jù)其斜率b，就可求得粒度分布的分維值為
? ? ? ? 3顆粒粒度分布分維的計算
? ? ? ? ?在對多種脆性材料以不同方式粉碎所形成的顆粒粒度分布進行統(tǒng)計分析后發(fā)現(xiàn)，同種物料或由不同物料組成的混合試樣，在沖擊粉碎方式下形成的顆粒，在一定尺寸范圍內(nèi)，其粒度分布均呈分形分布，并且在連續(xù)粉碎過程中分維不變。現(xiàn)列舉一些實驗數(shù)據(jù)及計算結(jié)果，見下列表圖所示，其中分維值D及相關(guān)系數(shù)r由zui小二乘法求得。
? ? ? ? 4結(jié)果討論與分維意義
? ? ? ? 4.1G-S分布均勻性系數(shù)的分形性質(zhì)
? ? ? ? ?從所列表中可以看出各相關(guān)系數(shù)均在1～0.99之間，強相關(guān)性說明材料粒度分布的分形特征是客觀存在的。事實上，對于大多數(shù)脆性材料，實驗表明，在沖擊粉碎方式下形成的粒度分布，都呈Gaudin-Schumann分布[5]，而此分布本身就是分形分布。G-S分布可由一個簡單冪律關(guān)系表示，即：
? ? ? ? 式中h為特征粒徑(尺寸模量)，m是均勻性系數(shù)(分布模量)。比較式(l2)和式(15)，可得粒度分布分維：
D=3-m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(16)
? ? ? ? 由此可知，m并非只是表示分布均勻程度的一般參數(shù)，同時它還是材料結(jié)構(gòu)中缺陷分布不規(guī)則性的度量。同種材料試樣，微觀結(jié)構(gòu)不同，其粉碎后形成粒度分布的m值也不同，其數(shù)值不但可以通過粒度分布的測量來確定，而且還可以通過材料結(jié)構(gòu)的分形分析，由裂紋分布的分維D來得到。實驗還發(fā)現(xiàn)，材料在連續(xù)粉碎過程中，m值保持常數(shù)[5]，即分維D不變，這也正好證明了前述論斷的正確性。
? ? ? ? 4.2分維能表征粒度分布的結(jié)構(gòu)特征
? ? ? ? 分形理論主要是研究不可積系統(tǒng)(即分形系統(tǒng))的自相似性，分維則是描述這個系統(tǒng)的復(fù)雜、不規(guī)則程度。如將材料粉碎后所形成的顆粒全體作為一個系統(tǒng)，顯然滿足G-S分布的顆粒系就是一個不可積的分形系統(tǒng)，而粒度分布的分維值也就反映了該系統(tǒng)物質(zhì)組成的結(jié)構(gòu)特征。
由G-S分布的m值意義和實驗分析數(shù)據(jù)可知，粒度分布的分維值能表征顆粒組成的集中、均勻特性。從表1，3中的計算結(jié)果看到，表示顆粒分布離散程度的變異系
，其分維D也越小，說明兩者之間存在著一定的對應(yīng)關(guān)系。
作者對表中數(shù)據(jù)進行回歸分析得
相關(guān)系數(shù)r為0.974。
? ? ? ? 因此粒度分布的分維值可以作為描述分布離散趨勢的良好測定數(shù)，即分維值越小，分布的離散趨勢越小，顆粒的均勻程度越好。
? ? ? ? 4.3分維D與材料脆斷強度σc的關(guān)系
? ? ? ? 大多數(shù)材料的宏觀力學(xué)性能與其內(nèi)部細觀結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，其中材料脆斷強度σc就是一例。對不同的試樣，即使嚴格控制試驗條件，其σc值仍呈現(xiàn)出很大的分散性。這是材料本身結(jié)構(gòu)中各種缺陷分布無序性的必然結(jié)果，故需用概率統(tǒng)計的方法來處理。現(xiàn)在越來越多的研究表明，脆性材料的損傷斷裂是個分形，具有很好的統(tǒng)計自相似性，在此應(yīng)用統(tǒng)計斷裂力學(xué)的zui弱環(huán)原理，從理論上探討材料脆斷強度與裂紋分布或顆粒粒度分布分維之間的關(guān)系。
? ? ? ? zui弱環(huán)原理：考慮由n個環(huán)組成的鏈。設(shè)每個環(huán)在應(yīng)力為σ時的斷裂慨率為F(σ)。假設(shè)zui弱環(huán)的斷裂導(dǎo)致整條鏈的斷裂，則應(yīng)力為σ時整條鏈的斷裂概率為：
? ? ? ? 假設(shè)：(l)材料是各向同性且統(tǒng)計均勻的；(2)zui危險裂紋的失穩(wěn)擴展導(dǎo)致整個試樣的斷裂。若一條裂紋引發(fā)的斷裂概率為F(σ)，含有n條裂紋試樣的斷裂概率Pf(σ)的由式(18)決定。
? ? ? ? 根據(jù)式(l)有裂紋尺寸的分布函數(shù)：
? ? ? ? 式中F(a)為裂紋尺寸小于a的數(shù)/裂紋總數(shù)。
裂紋密度函數(shù)為：
? ? ? ? 由于P{σ≥σL}=P{a≥ac}，得一條裂紋在應(yīng)力σ下引發(fā)斷裂的概率為：
? ? ? ? 其中ac為σ下的裂紋失穩(wěn)擴展的臨界尺寸。
? ? ? ? 脆性斷裂臨界應(yīng)力為：
? ? ? ? 式中：Kc。為斷裂韌度；對于平面應(yīng)力狀態(tài),β=1；平面應(yīng)變狀態(tài)，，v為Poisson比，故：
? ? ? ? 試樣在應(yīng)力σ下的斷裂概率：
? ? ? ? ?取材料斷裂強度σc為強度平均值，由概率論：
?
? ? ? ? 根據(jù)式(25)得：
? ? ? ? ?利用Gamma函數(shù)
? ? ? ? 由式(28)可知，材料的脆斷強度依賴于分維D，事實上，Kc也隨D而變化，其關(guān)系尚待進一步研究，但實驗表明，Kc隨分維D的增大而增大。
? ? ? ? 4.4由粒度分布曲線外推估測級配
目前細顆粒的測量還存在著許多間題，特別是當粒徑小于1μm時，從前面分析中可知，脆性材料在沖擊粉碎方式下得到的粒度分布以雙對數(shù)坐標表示時，一般成嚴格的直線關(guān)系，這一性質(zhì)為細顆粒的估測和擴大分析儀器的測童范圍提供了實用依據(jù)。即在標度不變范圍內(nèi)，從粒度分布細端外推曲線上的一個單點就能確定小于某一粒子尺寸顆粒的質(zhì)量累積百分率。因此，只要顆粒粒度分布曲線的線性相關(guān)性好，就可以從曲線中確定或外推估測其級配。
? ? ? ? 5結(jié)論
? ? ? ? 綜合上述分析，可得以下結(jié)論：
? ? ? ? (1)由于脆性材料內(nèi)部中的微缺陷分布和演化過程具有較好的統(tǒng)計自相似性，導(dǎo)致了材料在沖擊粉碎方式下形成的顆粒，其粒度分布均表現(xiàn)出分形分布。分維D∈(1，3)是表征這種分布空間結(jié)構(gòu)的參數(shù)，即D愈小，顆粒的均勻程度越好。
? ? ? ? (2)G-S分布的均勻性系數(shù)m與分維D之間存在著確切關(guān)系，這說明，m并非只是表示分布的一般參數(shù)，同時還是材料結(jié)構(gòu)中缺陷分布不規(guī)則性的度量，其數(shù)值不但可以通過粒度分析來測定，而且還可以方便地由幾何途徑來確定。
? ? ? ? (3)材料的宏觀力學(xué)性質(zhì)強烈地依賴于其本身結(jié)構(gòu)中缺陷分布的不規(guī)則程度，而這種不規(guī)則程度可由分形幾何很好地定量描述。
? ? ? ?(4)在一定標度范圍內(nèi)，由顆粒粒度分布曲線可以外推估測其級配，從而為細顆粒的測量提供了實用依據(jù)。
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